Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài tập minh họa, hướng dẫn giải chi tiết cho các bạn tự học. Bài tập áp dụng để học sinh tự làm. Tuyển tập các bài tính góc trong các đề thi học kì 2, đề thi thử THPT Quốc Gia.

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc  giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

goc-giua-duong-thang-va-mat-phangĐường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)

thì góc giữa a và (P) bằng 900

goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-1-1Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a

trên mặt phẳng (P). Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là

góc giữa hai đường thẳng a và a’: Góc β

Hình chiếu vuông góc của 1 điểm trên 1 mặt phẳng

H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P)

AH ⊥ (P) { AH vuông góc với các đường thẳng trong (P)}

H –  gọi là chân đường vuông góc kẻ tử A

hình chiếu vuông góc

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

hệ thức lượng tam giác vuông

 Bài tập minh họa

Bài 1 (Cơ bản): Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với cạnh đáy, SA = 3a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng và (ABCD), Góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAC)

Bài hướng dẫn

goc-giua-duong-thang-va-mat-phangCách xác định góc đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD)

bước 1: Tìm giao điểm của SB và mặt phẳng (ABCD)

bước 2: Tìm hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

  • SB ∩ (ABCD) = B    → hình chiếu vuông góc của B trên (ABCD) là B
  • .Vì có SA ⊥ (ABCD) → hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là A

⇒ Hình chiếu vuông góc của SB trên (ABCD) là AB. Góc giữa SB và (ABCD) là góc SBA ( điểm chung nằm giữa)

Xét tam giác SAB: Có SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ AB. Tam giác SAB là vuông tại A.

goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-1-1

Góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAC)

BD ⊥ AC ( ABCD là hình vuông ) (1), SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ BD (2)

Từ (1) và (2). BD ⊥ (SAC) → Góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAC) bằng 900

Bài 2(Cơ bản):  Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2CB = 2a. Cạnh bên SA= a vuông góc với đáy ABCD. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

Hướng dẫn giải

goc-giua-duong-thang-va-mat-phangCách xác định góc đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD)

bước 1: Tìm giao điểm của SB và mặt phẳng (ABCD)

bước 2: Tìm hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

  •  SC ∩ (ABCD) = C    → hình chiếu vuông góc của C trên (ABCD) là C
  • .Vì có SA ⊥ (ABCD) → hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là A

⇒ Hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD) là AC. Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA ( điểm chung nằm giữa)

Xét tam giác SAC: Có SA ⊥ (ABCD) → SA ⊥ AB. Tam giác SAC là vuông tại A.

Tính độ dài cạnh AC =?goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-1-1
Tính góc SCA = ?goc-giua-duong-thang-va-mat-phang-1-1

Trả lời

Thư điện tử của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *